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极坐标系(polar coordinates)

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极坐标系是指在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O,称为极点。从O出发引一条射线Ox,称为极轴。再取定一个单位长度,通常规定角度取逆时针方向为正。
这样,平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度r以及从Ox到OP的角度θ来确定,有序数对(r, θ)就称为P点的极坐标,记为P(r, θ);r称为P点的极径,θ称为P点的极角。

二维旋转矩阵的推导

{ x = r c o s φ y = r s i n φ \left\{ \begin{aligned} x=rcos\varphi\\ y=rsin\varphi \end{aligned} \right. {x=rcosφy=rsinφ

{ x ′ = r c o s ( φ + θ ) = r c o s φ c o s θ − r s i n φ s i n θ = x c o s θ − y s i n θ y ′ = r s i n ( φ + θ ) = r s i n φ c o s θ + r c o s φ s i n θ = y c o s θ + x s i n θ \left\{ \begin{aligned} x'=rcos(\varphi+\theta)=rcos\varphi cos\theta - rsin\varphi sin\theta = xcos\theta -ysin\theta \\ y'=rsin(\varphi+\theta)=rsin\varphi cos\theta + rcos\varphi sin\theta = ycos\theta +xsin\theta \end{aligned} \right. {x=rcos(φ+θ)=rcosφcosθrsinφsinθ=xcosθysinθy=rsin(φ+θ)=rsinφcosθ+rcosφsinθ=ycosθ+xsinθ

得出
( x ′ y ′ ) = [ c o s θ − s i n θ s i n θ c o s θ ] ( x y ) \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}= \begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta\\ sin\theta & cos\theta \end{bmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} (xy)=[cosθsinθsinθcosθ](xy)
得出旋转矩阵为
[ c o s θ − s i n θ s i n θ c o s θ ] \begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta\\ sin\theta & cos\theta \end{bmatrix} [cosθsinθsinθcosθ]

三维旋转矩阵

上面是二维的旋转,但上面那种情况放在3维中其实就是绕z轴旋转。
那么在三维中很简单,比如你绕x轴转,你就将线性矩阵Ax=b的x由 ( x , y ) T (x,y)^T (x,y)T换为 ( y , z ) T (y,z)^T (y,z)T
放入三维旋转矩阵即:
[ 1 0 0 0 cos ⁡ θ − sin ⁡ θ 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & - \sin \theta\\ 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} 1000cosθsinθ0sinθcosθ
绕y也是一样的

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三维坐标旋转矩阵推导_weixin_35127779的博客-爱代码爱编程_三维旋转矩阵推导

     在这里首先感谢博主:博客首页 > 小李的专栏 > 三维坐标旋转矩阵    毫不避讳的说的我的这份博文就是全部借鉴小李的专栏的三维坐标旋转矩阵的。之所以这样做是为了方便我以后查阅方便。若有人要转载我的博文,请和我一样,说明这篇博文的原创是小李(附上网址:https://blog.csdn.net/lz20120808/article/d

坐标系旋转矩阵推导过程_tingfenghanlei的博客-爱代码爱编程_坐标系旋转矩阵

一、先来个平面旋转的分析:     两角和(差)公式 推导 旋转变换一般是按照某个圆心点,以一定半径 r 旋转一定的角度α,为了简单起见我们给出下面的情景 假定点A(x,y)想经过旋转变换到达B(x',y'),已知旋转角度α和点A坐标,计算出点B 要计算点B则分别计算他的x'和y'分量 根据矩阵乘法计算规则,可以推出  只要

三维旋转矩阵推导-爱代码爱编程

1.绕X轴旋转, 分别求出Y、Z基向量绕X轴旋转θ后描述, X基向量不变为X'=(1,0,0), Y基向量绕X轴旋转θ后为Y'=(0,cosθ,sinθ), Z基向量绕X轴旋转θ后为Z'=(0,-sinθ,cosθ), 若为矩阵乘列向量形式,矩阵为, 1        0       0 0     cosθ     -sinθ 0  

3维旋转矩阵推导与助记-爱代码爱编程

旋转矩阵的应用范围比较广,是姿态变换,坐标变换等的基础。本篇先介绍旋转矩阵的推导过程与助记方法。 旋转矩阵的旋转其实包含两种意思,一是在同一个坐标系下,向量的旋转;二是坐标系的旋转,使得同一向量在不同的坐标系下有不同的坐标。 1 向量旋转 首先讨论二维平面坐标下的旋转,然后引申至三维。 1.1 平面二维旋转 如下图,XY坐标系中,向量OP旋转β角

【机器人学】绕空间任意轴的旋转矩阵推导-爱代码爱编程

注意:文中推导过程基于右手定则 用单位向量 n \textbf{n} n 描述旋转轴,用 θ

三维坐标旋转矩阵推导过程(包看懂)-爱代码爱编程

推导前提: 坐标使用右手坐标系,角度逆时针旋转为正。绕X轴旋转角度为 俯仰角 即Pitch绕Y轴旋转角度为 偏航角 即Yaw(Head)绕Z轴旋转角度为 翻滚角 即Roll一、平面二维坐标点的旋转 如右图所示,根据三角函数关系,可以列出向量OP与OP'的坐标表示形式: x = |OP|•cosα               x′ = |OP|•cos

【OpenGL-矩阵】旋转矩阵推导-爱代码爱编程

参考博文 https://blog.csdn.net/lady_killer9/article/details/89306082 绕x轴逆时针旋转的矩阵推导过程 这是绕x轴逆时针旋转的矩阵形式:在OpenGL中,默认的旋转方式是逆时针,所以下图表示的是在y-z平面上,绕x轴逆时针旋转β的过程: 旋转矩阵的使用方法 通常可以使用glm库,

三维坐标系旋转矩阵推导_乐ko烦的博客-爱代码爱编程

注意坐标系旋转不同于坐标点旋转坐标系旋转角度θ则等同于将目标点围绕坐标原点反方向旋转同样的角度θ1.三维坐标系推导过程 假设三维坐标系是一个右手坐标系。如下图 可以通过右手定则确定是右手坐标系。 确定轴的旋转的正方向,用右手的大拇指指向轴的正方向,弯曲手指手指。手指方向即是轴的正旋转方向。 2.坐标轴绕z轴旋转 坐标轴绕z轴正向旋转相当于op向量在

旋转矩阵推导过程_我什么都布吉岛的博客-爱代码爱编程

旋转矩阵为什么是很多正余弦函数值的集合,旋转矩阵有什么性质?旋转矩阵出现的意义在哪里?二维旋转和三维旋转的表达式有什么不同? 本文首先推导了二维情况下旋转矩阵代数及矩阵表达式,然后将结果推广到三维。 一、二维空间下的旋转矩阵 假设点 P

运动学解析~旋转矩阵推导_王者张良的博客-爱代码爱编程

旋转矩阵的推导要注意最关键的一点,就是我们需要的是坐标系的旋转变换,而不是点的旋转变换。大部分解释是第二条推导,所以感觉上就不能说服人。 本文转自这个链接:旋转矩阵怎么推导_如何推导旋转矩阵_独孤小白兔的博客-CSDN博客 极坐标系和直角坐标系是等价的,在极坐标系下,一个点可以表示为(r,θ),在直角坐标系下,表示为(x,y)。选取哪种坐标系是

矩阵(加速)。。。_cn_tigerhan的博客-爱代码爱编程

我限定你在明天中午之前搞定这东西!毕竟之前做过了欸。矩阵,一个看起来很神奇的东西,不过我不打算花太多的时间做这个,还是图论和数论好点儿,还要复习一下之前的数据结构和dp呢。那么先谈谈定义,定义一个矩阵就是一堆数,按照矩形排列

orb-slam2 ---- initializer::reconstructf函数_courage2022的博客-爱代码爱编程

目录 1.函数作用 2.函数解析  2.1 调用函数解析 2.2 Initializer::ReconstructF函数总体思路 2.2.1 代码 2.2.2 总体思路解析  2.2.3 根据基础矩阵和相机的内参数矩阵计算本质矩阵  2.2.4 从本质矩阵求解两个R解和两个t解,共四组解 2.2.5 分别验证求解的4种R和t的组合,选

欧拉角的概念理解和欧拉角旋转矩阵推导_欧拉角矩阵-爱代码爱编程

欧拉角用来计算空间中刚体的旋转位置,目的是改变刚体的朝向. 具体来说,空间中有一个点p和一根轴k,点p绕轴k旋转θ角度到p',求p'的坐标.这就是欧拉角要解决的问题. 只不过,欧拉角将1个点绕1根轴旋转1个角"转化为"1个点绕3个轴连续旋转3个角". 欧拉角的最终目的是为了改变刚体的朝向,刚体可以看做向量的集合,所有的向量都绕着同一个轴旋转相同的角度

旋转矩阵推导_旋转矩阵 x y z-爱代码爱编程

推导前提: 坐标使用右手坐标系,角度逆时针旋转为正。 绕X轴旋转角度为 俯仰角 即Pitch 绕Y轴旋转角度为 偏航角 即Yaw(Head) 绕Z轴旋转角度为 翻滚角 即Roll 一、平面二维坐标点的旋转 如右图所示,