代码编织梦想

怎么斜着找?

因为在内斜行中元素总是较先出现的,所以我们要从内斜行开始从内往外开始找,找到第0行全是1的最外层为止。内到什么程度才行?内到第16行。我们知道在中心对称轴的元素是每一斜行中最小的,它的特点是 C( k, 2k ) 。

如果该斜行最小元素都已经超出10的9次方那么剩下的元素都是大于10的9次方的,也就是说这一斜行是没有意义的,不用考虑。经计算,只有16斜行以内的数才符合条件。

我们已经确定了起始元素,根据杨辉三角的渐增性,越往下元素值越大,说明就是有序的,可以使用二分查找提高查找效率。这里有二分查找和排序的模板,大家可以参考下我的这篇文章

确定了查找的起点位置后就要确定查找的终点位置。我们以目标值作为我们的组合数下限。回到分析中的第三小点:组合数下限表示元素所在横行数-1,那么如果以目标值作为终点位置的组合数下限已经是非常大了,就算找不到也有第1斜行(全为1的是第0斜行)的公差为1的等差数列守着,所以一定能找到。

因为相同斜行的组合数上限不变,我们不断更换组合数下限的值,直到最后找到目标值即可。找到目标值后,根据此时的组合数上下限,结合杨辉三角组合数性质即可求出元素所在位置。以20: C( 6, 3 )为例,它是,第7行第4个元素。前面6行是个公差为1的等差数列,根据求和公式即可求出6行共有几个元素,最后再加4即为20所在位置。

精度问题: 因为最后输出的是整数,所以最后要使用int将计算结果中小数点后面的数去除。假设一个元素在几十万横行后面找到,那么求他的位置时它的前N项和是非常大的,但他所在的列数可能非常小,如果将他们相加后再转化为整型的话会造成数据丢失,导致与实际结果不符。这样放在蓝桥杯上的话只能够拿八十分。辛辛苦苦做出来的题却因为精度问题不能拿满分,属实可惜。这个问题我也想了好久没找到问题根源,最后看到一篇文章点醒了我,感谢 @Py小郑

代码

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求组合数

def C(a, b): # a为上限, b为下限

res = 1

for i in range(a):

res *= b / a

当结果大于目标值时无需继续运算,提高效率

if res > target:

return res

b -= 1

a -= 1

return res

二分查找目标元素

def search(k):

起始下限,也就是对称轴位置的元素

low = 2 * k

终点下限

high = target

可能出现high 小于 low 的情况,比如目标值很小,但行数还在十多行的时候。

这时候直接判断该斜行第一个元素也就是对称轴位置的元素的值是否是目标值即可。

if high <= low and C(k, low) != target:

return False

while low <= high:

mid = low + (high - low) // 2

val = C(k, mid)

if val > target:

high = mid - 1

elif val < target:

low = mid + 1

else:

根据等差数列前N项和公式求出前面有多少个元素,然后再加上他所在的列数

print(int(mid * (mid + 1) / 2) + k + 1)

return True

return False

target = int(input())

range第二个参数必须是-1,因为第0斜行才有1。

最后

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小编13年上海交大毕业,曾经在小公司待过,也去过华为、OPPO等大厂,18年进入阿里一直到现在。

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