在数学规划问题中，常常会遇到多种非线性目标和约束的问题，如电力系统中机组的成本函数，很多文献采用分段线性化进行处理，但是对于稍微复杂些的非线性问题采用分段线性化难度很大，而且结果偏差比较严重，经过博主测试，matlab+yalmip（cplex为求解器）能够解决一些看起来比较棘手的非线性问题，功能远比你想象中要强大。

1 非线性数学规划案例

考虑下面的最小化问题。

其中，.

可以看到，目标函数是一个带的函数，是非线性的；第一个约束是2次方，第二个约束带绝对值。

这个问题包含了多种非线性的场景，非常适合用来检验matlab+yalmip求解非线性的数学规划。

2 完全直接调用matlab+yalmip求解

如果完全直接调用yalmip求解，则需要引入辅助变量

因此，上述数学规划其实是可以等价为下面的形式

我们用matlab调用cplex来求解该数学规划。

使用到的函数

• abs: 添加绝对值约束

• max：添加约束

完整代码如下:

%定义变量x=sdpvar(1);y=sdpvar(1);z=sdpvar(1);u=sdpvar(1);w=sdpvar(1);%设置约束con=[];con=[con,(x-1)^2+(y-1)^2-1<=0];%二次非线性约束con=[con,z+y-2<=0];con=[con,z==abs(x)];%非线性约束con=[con,u==y+4];con=[con,w==max(z,u)];%非线性约束con=[con,w>=0,z>=0];%求解ops = sdpsettings('verbose',1,'solver','cplex');%求解器设置optimize(con,w,ops)​%结果x=value(x)y=value(y)z=value(z)u=value(u)w=value(w)

求解结果为：

CPXPARAM_MIP_Display                             1Tried aggregator 2 times.MIQCP Presolve eliminated 5 rows and 1 columns.MIQCP Presolve modified 16 coefficients.Aggregator did 5 substitutions.Reduced MIQCP has 15 rows, 8 columns, and 40 nonzeros.Reduced MIQCP has 2 binaries, 0 generals, 0 SOSs, and 0 indicators.Reduced MIQCP has 1 quadratic constraints.Presolve time = 0.00 sec. (0.05 ticks)Probing time = 0.00 sec. (0.00 ticks)MIP emphasis: balance optimality and feasibility.MIP search method: dynamic search.Parallel mode: deterministic, using up to 8 threads.​Node log . . .Best integer =   4.999999e+00  Node =       0  Best node =   3.998578e+00Best integer =   4.999997e+00  Node =       0  Best node =   3.999001e+00Best integer =   4.000000e+00  Node =       0  Best node =   4.000000e+00Flow cuts applied:  1Gomory fractional cuts applied:  1Cone linearizations applied:  13​ans = ​  包含以下字段的 struct:​    yalmipversion: '20181012'       yalmiptime: 0.1245       solvertime: 0.3555             info: 'Successfully solved (CPLEX-IBM)'          problem: 0​x =    1.0000y =  -6.9885e-09z =    1.0000u =    4.0000w =    4.0000

由于是有一点点数值问题，我们可以忽略数值问题，实际上最优解为

从上述解可以得知，这个解确实是最优的。

通过报告我们大致看一下对非线性部分如何处理的：

Reduced MIQCP has 1 quadratic constraints

该二次型整数规划模型中成功处理了二次项约束，具体处理方法也直接给出来了：

Cone linearizations applied:  13

应用了二阶锥方法解决2次规划问题，当然，二阶锥约束也可以用cone进行表达。

这里是matlab/yalmip深度应用聚集地，欢迎关注。