代码编织梦想


本文为离散数据与组合数学电子科技大学王丽杰老师的课程笔记,详细视频参考
【电子科技大学】离散数学(上) 王丽杰
【电子科技大学】离散数学(下) 王丽杰
latex的离散数学写法参考: 离散数学与组合数学-01

离散数学公式
!符号 代码 含义
∧ \wedge \wedge 且
∨ \vee \vee 或
∩ \cap \cap 交
∪ \cup \cup 并
⊆ \subseteq \subseteq 子集
⊈ \nsubseteq \nsubseteq 不是子集
⊂ \subset \subset 真子集
⊄ \not\subset \not\subset 不是真子集
∈ \in \in 属于
∉ \not\in \not\in 不属于
↔ \leftrightarrow \leftrightarrow 等价
⇔ \Leftrightarrow \Leftrightarrow 等值
¬ \neg ¬ \neg或\lnot 非
R \mathbb{R} R \mathbb{R} 实数集
Z \mathbb{Z} Z \mathbb{Z} 整数集
∅ \varnothing \varnothing 空集
∀ \forall \forall 对任意的
∃ \exists \exists 存在
≥ \geq \geq大于等于
≤ \leq \leq 小于等于

R / R\mkern-10.5mu/ R/ R\mkern-10.5mu/ 数值越大,斜杆越往字母左侧移动

离散数学与组合数学-02二元关系上

2.1 序偶和笛卡尔积

2.1.1 有序组的定义

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2.1.2 笛卡儿积

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笛卡儿积的性质

由笛卡儿积定义可以看出:
1 设 A, B 是任意两个集合,则不一定有 A × B = B × A,即笛卡儿积不满足交换律;
2 A × B = ∅ 当且仅当 A = ∅ 或者 B = ∅;
3 设 A,B, C 是任意三个集合,则不一定有 A × (B × C) = (A × B) × C,即笛卡儿积不满足结合律;
4 当集合 A, B 都是有限集时,|A × B| = |B × A| = |A| × |B|。
5 笛卡儿积对并运算和交运算满足分配律。

2.2 关系的定义

2.2.1 二元关系定义与案例

设 A, B 为两个非空集合,称A × B 的任意子集 R 为从 A 到 B 的一个二元关系,简称关系 (relation)。其中,
A 称为关系 R 的前域,
B 称为关系 R 的后域。
如果A = B,则称 R为A 上的一个二元关系。
案例:

1.令 A 为某大学所有学生的集合,B 表示该大学开设的所有课程的集合,则 A × B 可表示该校学生选课的所有可能情况。而真正的选课情况(即选课关系)则会是 A × B 的某一个子集。
2 令 F 为某地所有父亲的集合,S 表示该地所有儿子的集合,则 F × S 可表示父子关系的所有可能情况。 而真正的父子关系则会是 F × S 的某一个子集。

2.2.2 二元关系的数学符号

定义

1 若序偶 < x , y > ∈ R < x, y > \in R <x,y>∈R,通常把这一事实记为 xRy,读作“x 对 y 有关系 R”;
2 若序偶 < x , y > ∉ R < x, y > \not\in R <x,y>R,通常把这一事实记为 x R / y xR\mkern-10.5mu/y xR/y,读作“x 对 y 没有关系 R”。

案例

R 1 R_{1} R1 为自然数集合上的小于关系,则 < 2 , 3 > ∉ R 1 ( 或 2 R 1 3 ) , < 2, 3 > \not\in R_{1}(或 2R_{1}3), <2,3>R1(2R13) < 5 , 5 > ∉ R 1 < 5, 5 > \not\in R1 <5,5>R1(或 5 R / 5 5R\mkern-10.5mu/5 5R/5);
2 设 R 2 R_{2} R2 为中国城市的地区归属关系,则 成都 R 2 四川 成都R_{2}四川 成都R2四川,但 重庆 R / 四川 重庆R\mkern-10.5mu/四川 重庆R/四川.

枚举二元关系

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2.2.3 定义域和值域

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2.2.4 二元关系概念的推广

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2.3 关系的表示

2.3.1 集合表示法

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2.3.2 图形表示关系

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2.3.3 关系矩阵表示法

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2.3.4 布尔矩阵运算

布尔矩阵的并和交运算

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案例:
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布尔矩阵的积运算

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2.4 关系的运算

2.4.1 关系的并交差补运算

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2.4.2 关系的复合运算

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关系图和关系矩阵进行符合运算

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2.4.3 关系的逆运算

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2.5关系的运算性质

2.5.1 复合预算性质

结合律和同一律

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分配率

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2.5.2 逆运算性质定律

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2.6关系的幂运算

2.6.1 关系幂运算定义

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2.6.2 幂运算的性质

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2.6.3 幂运算的收敛性

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2.7关系的性质1

2.7.1 自反与反自反

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2.7.2 对称与反对称

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2.7.3 传递性

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2.8关系的性质2

2.8.1 关系性质的判定定理

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2.8.2 关系的保守性

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2.9关系的闭包

2.9.1关系闭包

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2.9.2 闭包求解

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2.10 等价关系

2.10.1 等价关系定义

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2.10.2 等价类和商集

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2.10.3 集合的划分

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2.10.4 等价关系->集合划分

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2.10.5 集合划分->等价关系

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2.11 次序关系

2.11.1 偏序关系定义

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2.11.2 可比与覆盖

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2.11.3 计算科学中的字典排序

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2.11.4 哈斯图及特殊元素

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哈斯图

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特殊元素

最大元和最小元

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极大元和极小元

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上界和上确界

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2.11.5 其它次序关系

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