近世代数--置换群--一个置换的例子-爱代码爱编程
近世代数--置换群--一个置换的例子
博主是初学近世代数(群环域),本意是想整理一些较难理解的定理、算法,加深记忆也方便日后查找;如果有错,欢迎指正。
我整理成一个系列:近世代数,方便检索。
在 S 4 S_4 S4中,令 K = { ( 1 ) , ( 12 ) ( 34 ) , ( 13 ) ( 24 ) , ( 14 ) ( 23 ) } K=\{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\} K={(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)},要证 K K K是 S S S的正规子群。
- 首先我们要知道正规子群的几个等价定义。
- H ◃ G H \triangleleft G H◃G
- ∀ a ∈ G , a H = H a \forall a\in G,aH=Ha ∀a∈G,aH=Ha
- ∀ a ∈ G , a H a − 1 ⊂ H \forall a\in G,aHa^{-1}\subset H ∀a∈G,aHa−1⊂H
- ∀ a ∈ G , h ∈ H , a h a − 1 ∈ H \forall a\in G,h\in H,aha^{-1}\in H ∀a∈G,h∈H,aha−1∈H
证明:
(
1
)
→
(
2
)
:
H
◃
G
→
∀
a
∈
G
,
a
H
=
H
a
(1)\rightarrow(2):H \triangleleft G\rightarrow \forall a\in G,aH=Ha
(1)→(2):H◃G→∀a∈G,aH=Ha
(
2
)
→
(
3
)
:
∀
a
∈
G
,
a
H
=
H
a
→
a
H
a
−
1
=
H
→
a
H
a
−
1
⊂
H
(2)\rightarrow(3):\forall a\in G,aH=Ha\rightarrow aHa^{-1}=H\rightarrow aHa^{-1}\subset H
(2)→(3):∀a∈G,aH=Ha→aHa−1=H→aHa−1⊂H
(
3
)
→
(
4
)
:
∀
a
∈
G
,
a
H
a
−
1
⊂
H
→
a
h
a
−
1
∈
H
(3)\rightarrow(4):\forall a\in G,aHa^{-1}\subset H\rightarrow aha^{-1}\in H
(3)→(4):∀a∈G,aHa−1⊂H→aha−1∈H
(
4
)
→
(
1
)
:
(4)\rightarrow(1):
(4)→(1):
- ∀ a ∈ G , h ∈ H , a h a − 1 ∈ H → ∀ h ∈ H , ∃ h 1 ∈ H , \forall a\in G,h\in H,aha^{-1}\in H\rightarrow \forall h\in H, {\exists}h_1\in H, ∀a∈G,h∈H,aha−1∈H→∀h∈H,∃h1∈H,使得 a h a − 1 = h 1 → a h = h 1 a → a h ∈ H a → a H ⊂ H a aha^{-1}=h_1\rightarrow ah=h_1a\rightarrow ah\in Ha\rightarrow aH\subset Ha aha−1=h1→ah=h1a→ah∈Ha→aH⊂Ha;
- 又 ∀ a ∈ G , h ∈ H , a − 1 h ( a − 1 ) − 1 ∈ H → a a − 1 h ( a − 1 ) − 1 ∈ a H → h ( a − 1 ) − 1 ∈ a H → h a ∈ a H → H a ⊂ a H \forall a\in G,h\in H,a^{-1}h(a^{-1})^{-1}\in H\rightarrow aa^{-1}h(a^{-1})^{-1}\in aH\rightarrow h(a^{-1})^{-1}\in aH\rightarrow ha\in aH\rightarrow Ha\subset aH ∀a∈G,h∈H,a−1h(a−1)−1∈H→aa−1h(a−1)−1∈aH→h(a−1)−1∈aH→ha∈aH→Ha⊂aH
- 故 ∀ a ∈ G , a H = H a → H ◃ G \forall a\in G,aH=Ha\rightarrow H \triangleleft G ∀a∈G,aH=Ha→H◃G
现在 我们用第(4)个定义 ∀ a ∈ G , h ∈ H , a h a − 1 ∈ H \forall a\in G,h\in H,aha^{-1}\in H ∀a∈G,h∈H,aha−1∈H去证明。
- 我们现在只要证 ∀ σ ∈ S , τ ∈ K , \forall \sigma \in S,\tau \in K, ∀σ∈S,τ∈K,有 σ τ σ − 1 ∈ K \sigma\tau\sigma^{-1}\in K στσ−1∈K
证明:
τ
:
(
1
)
、
(
12
)
(
34
)
、
(
13
)
(
24
)
、
(
14
)
(
23
)
\tau:(1)、(12)(34)、(13)(24)、(14)(23)
τ:(1)、(12)(34)、(13)(24)、(14)(23)
σ
:
∀
σ
∈
S
4
\sigma:\forall \sigma \in S_4
σ:∀σ∈S4
- σ ⋅ ( 1 ) ⋅ σ − 1 = σ ⋅ ( ( 1 ) ⋅ σ − 1 ) = σ ⋅ σ − 1 = ( 1 ) \sigma·(1)·\sigma^{-1}\\=\sigma·((1)·\sigma^{-1})\\=\sigma·\sigma^{-1}\\=(1) σ⋅(1)⋅σ−1=σ⋅((1)⋅σ−1)=σ⋅σ−1=(1)
- σ ⋅ ( 12 ) ( 34 ) ⋅ σ − 1 = ( σ ⋅ ( 12 ) ⋅ σ − 1 ) ⋅ ( σ ⋅ ( 34 ) ⋅ σ − 1 ) \sigma·(12)(34)·\sigma^{-1}\\=(\sigma·(12)·\sigma^{-1})·(\sigma·(34)·\sigma^{-1}) σ⋅(12)(34)⋅σ−1=(σ⋅(12)⋅σ−1)⋅(σ⋅(34)⋅σ−1)
考虑 ( σ ⋅ ( 12 ) ⋅ σ − 1 ) (\sigma·(12)·\sigma^{-1}) (σ⋅(12)⋅σ−1)
- σ : 1 → σ 1 , 2 → σ 2 \sigma:1\rightarrow \sigma_1,2\rightarrow \sigma_2 σ:1→σ1,2→σ2
- σ − 1 : σ 1 → 1 , σ 2 → 2 \sigma^{-1}:\sigma_1\rightarrow 1,\sigma_2\rightarrow 2 σ−1:σ1→1,σ2→2
- ( 12 ) : 1 → 2 , 2 → 1 (12):1\rightarrow 2,2\rightarrow 1 (12):1→2,2→1
(
σ
⋅
(
12
)
⋅
σ
−
1
)
:
σ
1
→
1
→
2
→
σ
2
,
σ
2
→
2
→
1
→
σ
1
(\sigma·(12)·\sigma^{-1}):\sigma_1\rightarrow 1\rightarrow 2\rightarrow \sigma_2,\sigma_2\rightarrow 2\rightarrow 1\rightarrow \sigma_1
(σ⋅(12)⋅σ−1):σ1→1→2→σ2,σ2→2→1→σ1
可以看出来,其实就是把
σ
1
\sigma_1
σ1和
σ
2
\sigma_2
σ2交换了。所以
(
σ
⋅
(
12
)
⋅
σ
−
1
)
=
(
σ
(
1
)
σ
(
2
)
)
(\sigma·(12)·\sigma^{-1})=(\sigma(1)\sigma(2))
(σ⋅(12)⋅σ−1)=(σ(1)σ(2))
( σ ⋅ ( 12 ) ⋅ σ − 1 ) ⋅ ( σ ⋅ ( 34 ) ⋅ σ − 1 ) = ( σ ( 1 ) σ ( 2 ) ) ⋅ ( σ ( 3 ) σ ( 4 ) ) (\sigma·(12)·\sigma^{-1})·(\sigma·(34)·\sigma^{-1})=(\sigma(1)\sigma(2))·(\sigma(3)\sigma(4)) (σ⋅(12)⋅σ−1)⋅(σ⋅(34)⋅σ−1)=(σ(1)σ(2))⋅(σ(3)σ(4))
又因为
(
σ
(
1
)
σ
(
2
)
)
(
σ
(
3
)
σ
(
4
)
)
(\sigma(1)\sigma(2))(\sigma(3)\sigma(4))
(σ(1)σ(2))(σ(3)σ(4))这个表达式中没有相同的元素,的确是一个置换,而
K
K
K中又包含了这种形式的所有置换,所以
(
σ
(
1
)
σ
(
2
)
)
(
σ
(
3
)
σ
(
4
)
)
∈
K
(\sigma(1)\sigma(2))(\sigma(3)\sigma(4))\in K
(σ(1)σ(2))(σ(3)σ(4))∈K,
同理
(
σ
(
1
)
σ
(
3
)
)
(
σ
(
2
)
σ
(
4
)
)
∈
K
、
(
σ
(
1
)
σ
(
4
)
)
(
σ
(
2
)
σ
(
3
)
)
∈
K
(\sigma(1)\sigma(3))(\sigma(2)\sigma(4))\in K、(\sigma(1)\sigma(4))(\sigma(2)\sigma(3))\in K
(σ(1)σ(3))(σ(2)σ(4))∈K、(σ(1)σ(4))(σ(2)σ(3))∈K
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