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近世代数--置换群--一个置换的例子

博主是初学近世代数(群环域),本意是想整理一些较难理解的定理、算法,加深记忆也方便日后查找;如果有错,欢迎指正。
我整理成一个系列:近世代数,方便检索。

S 4 S_4 S4中,令 K = { ( 1 ) , ( 12 ) ( 34 ) , ( 13 ) ( 24 ) , ( 14 ) ( 23 ) } K=\{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\} K={(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)},要证 K K K S S S的正规子群。

  • 首先我们要知道正规子群的几个等价定义。
    • H ◃ G H \triangleleft G HG
    • ∀ a ∈ G , a H = H a \forall a\in G,aH=Ha aG,aH=Ha
    • ∀ a ∈ G , a H a − 1 ⊂ H \forall a\in G,aHa^{-1}\subset H aG,aHa1H
    • ∀ a ∈ G , h ∈ H , a h a − 1 ∈ H \forall a\in G,h\in H,aha^{-1}\in H aG,hH,aha1H

证明:
( 1 ) → ( 2 ) : H ◃ G → ∀ a ∈ G , a H = H a (1)\rightarrow(2):H \triangleleft G\rightarrow \forall a\in G,aH=Ha (1)(2)HGaG,aH=Ha
( 2 ) → ( 3 ) : ∀ a ∈ G , a H = H a → a H a − 1 = H → a H a − 1 ⊂ H (2)\rightarrow(3):\forall a\in G,aH=Ha\rightarrow aHa^{-1}=H\rightarrow aHa^{-1}\subset H (2)(3)aG,aH=HaaHa1=HaHa1H
( 3 ) → ( 4 ) : ∀ a ∈ G , a H a − 1 ⊂ H → a h a − 1 ∈ H (3)\rightarrow(4):\forall a\in G,aHa^{-1}\subset H\rightarrow aha^{-1}\in H (3)(4)aG,aHa1Haha1H
( 4 ) → ( 1 ) : (4)\rightarrow(1): (4)(1)

  • ∀ a ∈ G , h ∈ H , a h a − 1 ∈ H → ∀ h ∈ H , ∃ h 1 ∈ H , \forall a\in G,h\in H,aha^{-1}\in H\rightarrow \forall h\in H, {\exists}h_1\in H, aG,hH,aha1HhH,h1H,使得 a h a − 1 = h 1 → a h = h 1 a → a h ∈ H a → a H ⊂ H a aha^{-1}=h_1\rightarrow ah=h_1a\rightarrow ah\in Ha\rightarrow aH\subset Ha aha1=h1ah=h1aahHaaHHa;
  • ∀ a ∈ G , h ∈ H , a − 1 h ( a − 1 ) − 1 ∈ H → a a − 1 h ( a − 1 ) − 1 ∈ a H → h ( a − 1 ) − 1 ∈ a H → h a ∈ a H → H a ⊂ a H \forall a\in G,h\in H,a^{-1}h(a^{-1})^{-1}\in H\rightarrow aa^{-1}h(a^{-1})^{-1}\in aH\rightarrow h(a^{-1})^{-1}\in aH\rightarrow ha\in aH\rightarrow Ha\subset aH aG,hH,a1h(a1)1Haa1h(a1)1aHh(a1)1aHhaaHHaaH
  • ∀ a ∈ G , a H = H a → H ◃ G \forall a\in G,aH=Ha\rightarrow H \triangleleft G aG,aH=HaHG

现在 我们用第(4)个定义 ∀ a ∈ G , h ∈ H , a h a − 1 ∈ H \forall a\in G,h\in H,aha^{-1}\in H aG,hH,aha1H去证明。

  • 我们现在只要证 ∀ σ ∈ S , τ ∈ K , \forall \sigma \in S,\tau \in K, σS,τK, σ τ σ − 1 ∈ K \sigma\tau\sigma^{-1}\in K στσ1K

证明:
τ : ( 1 ) 、 ( 12 ) ( 34 ) 、 ( 13 ) ( 24 ) 、 ( 14 ) ( 23 ) \tau:(1)、(12)(34)、(13)(24)、(14)(23) τ:(1)(12)(34)(13)(24)(14)(23)
σ : ∀ σ ∈ S 4 \sigma:\forall \sigma \in S_4 σ:σS4

  • σ ⋅ ( 1 ) ⋅ σ − 1 = σ ⋅ ( ( 1 ) ⋅ σ − 1 ) = σ ⋅ σ − 1 = ( 1 ) \sigma·(1)·\sigma^{-1}\\=\sigma·((1)·\sigma^{-1})\\=\sigma·\sigma^{-1}\\=(1) σ(1)σ1=σ((1)σ1)=σσ1=(1)
  • σ ⋅ ( 12 ) ( 34 ) ⋅ σ − 1 = ( σ ⋅ ( 12 ) ⋅ σ − 1 ) ⋅ ( σ ⋅ ( 34 ) ⋅ σ − 1 ) \sigma·(12)(34)·\sigma^{-1}\\=(\sigma·(12)·\sigma^{-1})·(\sigma·(34)·\sigma^{-1}) σ(12)(34)σ1=(σ(12)σ1)(σ(34)σ1)

考虑 ( σ ⋅ ( 12 ) ⋅ σ − 1 ) (\sigma·(12)·\sigma^{-1}) (σ(12)σ1)

  • σ : 1 → σ 1 , 2 → σ 2 \sigma:1\rightarrow \sigma_1,2\rightarrow \sigma_2 σ:1σ1,2σ2
  • σ − 1 : σ 1 → 1 , σ 2 → 2 \sigma^{-1}:\sigma_1\rightarrow 1,\sigma_2\rightarrow 2 σ1:σ11,σ22
  • ( 12 ) : 1 → 2 , 2 → 1 (12):1\rightarrow 2,2\rightarrow 1 (12):12,21

( σ ⋅ ( 12 ) ⋅ σ − 1 ) : σ 1 → 1 → 2 → σ 2 , σ 2 → 2 → 1 → σ 1 (\sigma·(12)·\sigma^{-1}):\sigma_1\rightarrow 1\rightarrow 2\rightarrow \sigma_2,\sigma_2\rightarrow 2\rightarrow 1\rightarrow \sigma_1 (σ(12)σ1):σ112σ2,σ221σ1
可以看出来,其实就是把 σ 1 \sigma_1 σ1 σ 2 \sigma_2 σ2交换了。所以
( σ ⋅ ( 12 ) ⋅ σ − 1 ) = ( σ ( 1 ) σ ( 2 ) ) (\sigma·(12)·\sigma^{-1})=(\sigma(1)\sigma(2)) (σ(12)σ1)=(σ(1)σ(2))

( σ ⋅ ( 12 ) ⋅ σ − 1 ) ⋅ ( σ ⋅ ( 34 ) ⋅ σ − 1 ) = ( σ ( 1 ) σ ( 2 ) ) ⋅ ( σ ( 3 ) σ ( 4 ) ) (\sigma·(12)·\sigma^{-1})·(\sigma·(34)·\sigma^{-1})=(\sigma(1)\sigma(2))·(\sigma(3)\sigma(4)) (σ(12)σ1)(σ(34)σ1)=(σ(1)σ(2))(σ(3)σ(4))

又因为 ( σ ( 1 ) σ ( 2 ) ) ( σ ( 3 ) σ ( 4 ) ) (\sigma(1)\sigma(2))(\sigma(3)\sigma(4)) (σ(1)σ(2))(σ(3)σ(4))这个表达式中没有相同的元素,的确是一个置换,而 K K K中又包含了这种形式的所有置换,所以 ( σ ( 1 ) σ ( 2 ) ) ( σ ( 3 ) σ ( 4 ) ) ∈ K (\sigma(1)\sigma(2))(\sigma(3)\sigma(4))\in K (σ(1)σ(2))(σ(3)σ(4))K
同理 ( σ ( 1 ) σ ( 3 ) ) ( σ ( 2 ) σ ( 4 ) ) ∈ K 、 ( σ ( 1 ) σ ( 4 ) ) ( σ ( 2 ) σ ( 3 ) ) ∈ K (\sigma(1)\sigma(3))(\sigma(2)\sigma(4))\in K、(\sigma(1)\sigma(4))(\sigma(2)\sigma(3))\in K (σ(1)σ(3))(σ(2)σ(4))K(σ(1)σ(4))(σ(2)σ(3))K

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