在进行数组处理时可能会遇到以下需求：单点更改某位置的值；查询某个区间[left, right]内的值的和，如果普通地进行遍历数组，则时间复杂度可能达到O（n^2），为了降低时间复杂度，可以使用树状数组来实现单点修改和区间求和。

lowbit（）函数原理及作用

在正式学习树状数组之前，需要介绍一下lowbit（）函数。

lowbit函数的写法如上，他的作用是得到非负整数 i 在二进制表示下，最低位的 1 与其后面的所有 0 组成的数值。

e.g.  lowbit(8)=lowbit(100)（100是二进制表示下的8）= 8;

lowbit (9)=lowbit (101) （101是二进制表示下的9）=1；

lowbit(44)=lowbit(101100)（101100是二进制表示下的44）=8；

而这一操作实际上可以通过以下方式得到：对原数字取反加一。以 i=44 为例，对101100取反得到010011，加一得到010100.这时我们发现，蓝色数字和紫色数字如果按位与，则得到的数是00100，正是lowbit（44）的结果。我们又知道，计算机存储的数是补码形式，而 ~i+1=  -i（~是取反符号，这个式子意为： -i 就是对 i 进行取反加一操作），并且一个数取反加一两次后得到的仍是原数，所以lowbit（i）=（-i）& i 。

那么为什么要引入lowbit函数呢？观察一下

（图源树状数组，就是这么简单！_哔哩哔哩_bilibili） 

这种图片里的c [ ]数组（实际上就是树状数组），将每个数组里的数字以二进制数表示，类似下图。

（图源树状数组，就是这么简单！_哔哩哔哩_bilibili） 

 可以看到，对树状数组里的序号数取lowbit值后得到的就是该数组元素里存放的数据个数。例如： t [1]里有一个数据，lowbit（1）==1.t [2]里有2个数据，lowbit（2）==2.t [3]里有1个数据，lowbit（3）==1……因此lowbit函数可以计算树状数组中某个元素包含几个数据。

应用：

 c [6]的直接前驱是c [4]，可以表示为c [ 6 - lowbit(6) ]，c [6]的直接后继是c [8],可以表示为c [6 + lowbit(6) ]，通过这种计算方法，可以便捷地实现单点修改和区间求和功能。

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=10005;
int n,a[maxn],c[maxn];

int lowbit(int i){//c[i]的区间长度 
	return (-i)&i;
}

void add(int i,int z)//点更新，a[i]加上z
{	 
	/*while(i+lowbit(i)<=n)
	{
		c[i]+=z;
		i+=lowbit(i);
	}*/
	for(;i<=n;i+=lowbit(i))
	c[i]+=z;
}

int sum(int i)//前缀和，a[1]+a[2]+...+a[i]
{
	int sum=0;
	for(;i>0;i-=lowbit(i))
	sum+=c[i];
	return sum;
}

int sum(int i,int j)//区间和，a[i]+a[i+1]+...+a[j]
{
	/*int sum=0;
	for(;j>=i;j-=lowbit(j))
	sum+=c[j];
	return sum;*/
	return sum(j)-sum(i-1);
}

需要注意的是，单点修改时，不仅需要修改指定的点，还需要将该点的所有后继都进行修改，代码见上面的 add（）函数。