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原创 维希安 (微信公众号:南雨潇湘) 2021-07-30 00:59

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要了解冈珀茨模型,我们先了解一下S型曲线。S型曲线(S-Curve)多存在于分类评定模型(Logit model),逻辑回归(Logistic regression)模型,属于多重变数分析范畴。

S型曲线也称为生长曲线。顾名思义,与增长预测密切相关。比如计算人口增长的趋势,人类年龄的增长,电子产品的销售趋势等等。

根据3M提出的一个市场理论,市场周期不超过5年的新产品应占到产品总收入的30%。我们假设一个新产品有100个潜在的用户,每个用户接纳这个新产品所需要的时间满足平均值为5,标准偏差为1.25的正态分布。通过EXCEL函数=NORM.INV(G9/100,$I$4,$I$5)返回正态累积分布的反函数值时间Time。

由于S型曲线是以时间序列作为自变量,因此需要做一下转化,即连续时间time使用新产品的人数。使用=COUNTIF($H$9:$H$107,"<="&J11)将对应的人数People计算出来。根据这个数据画图:

    

得到的就是一条S曲线,可以看到在发生阶段,变化速度较为缓慢;在发展阶段,变化速度加快;在成熟阶段,变化速度又趋缓慢。

生长曲线有很多数学模型,其中一个广泛应用的模型就是冈珀茨(Gompertz)模型。其数学公式如下:x(t)=a(exp(-c(exp(-bt)),其中t为时间,a、b和c是调节S曲线陡度的可调系数。

随着时间t变大,x(t)无限接近a。拐点x(t)=a/e即当t=Ln(c/b) 。在EXCEL表建立一个每百人拥有手机随时间变化的数据:a,b,c为变量,初始值为1,0,0,求最小的SSE。根据上面的公式F列为冈珀茨公式预测量=a*EXP(-c_*EXP(-b*C5)),分别计算每一行的方差。

开始规划求解,参数设置如下。我们要求最小的SSE,并且需要对a,b,c进行限制,模型用非线性GRG。

最终结果如下:

可以看到:拟合图形非常好:

因此,给定时间序列t,只要求得其中的三个参数值 a、b、c,就可以用来求得未来周期的预测值。

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